Question

10．已知函数f（x）=|x+a|-|x-1|．
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式$f（x）≥\frac{1}{2}$的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥2有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=-2时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≤1\\-2x+3，1＜x≤2\\-1，\;\;\;\;\;\;\;\;x＞2\end{array}\right.$，
当x≤1时，由$f（x）≥\frac{1}{2}$得$1≥\frac{1}{2}$，成立，∴x≤1；
当1＜x＜2时，由$f（x）≥\frac{1}{2}$得$-2x+3≥\frac{1}{2}$，
解得$x≤\frac{5}{4}$，∴$1＜x≤\frac{5}{4}$．
当x＞2时，由$f（x）≥\frac{1}{2}$得$-1≥\frac{1}{2}$，不成立．
综上，$f（x）≥\frac{1}{2}$的解集为$\left\{{x|x≤\frac{5}{4}}\right\}$．
（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|-|x-1|≥2有解，
∴f（x）_max≥2．
∵|x+a|-|x-1|≤|（x+a）-（x-1）|=|a+1|，
∴|a+1|≥2，∴a≥1或a≤-3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．