Question

5．求 函数y=|x-3|-|x+1|的最大值．

Answer 1

分析 根据绝对值的定义，将题中函数去绝对值化简成分段函数，再根据一次函数的单调性加以讨论，即可得到函数的最大、最小值．

解答 解：根据题意，可得
当x≤-1时，y=|x-3|-|x+1|=3-x-（-x-1）=4；
当-1＜x≤3时，y=|x-3|-|x+1|=3-x-（x+1）=-2x+2；
当x≥3时，y=|x-3|-|x+1|=x-3-（x+1）=-4
∴化简函数为分段函数，得y=$\left\{\begin{array}{l}{4，x≤-1}\\{2-2x，-1＜x≤3}\\{-4，x≥3}\end{array}\right.$，
∵在区间（-1，3]上，函数解析式为y=-2x+2，为单调递减函数，
∴在区间（-1，3]上，-2×3+2≤y＜-2×（-1）+2，即-4≤y＜4，
因此可得：当x≤-1时，函数有最大值为4．

点评 本题给出含有绝对值的函数，求函数的最大值和最小值．着重考查了绝对值的定义、一次函数的单调性和函数最值求法等知识，属于中档题．