Question

13．过点M（1，3）引圆x²+y²=2的切线，切点分别为A，B，则sin∠AMB=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 作出图象易得sin∠OMB，cos∠OMB的值，再利用二倍角计算sin∠AMB的值．

解答 解：如图所示，由题意可得|OM|=$\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
|OB|=r=$\sqrt{2}$；
由勾股定理可得|MA|=|MB|=$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$，
∴sin∠OMB=$\frac{OB}{OM}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠OMB=$\frac{BM}{OM}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠AMB=sin2∠OMB
=2sin∠OMBcos∠OMB
=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
=$\frac{4}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了圆的切线问题，涉及勾股定理和二倍角公式的应用问题，是基础题．