Question

4．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≤4}\\{3x-2y≤6}\end{array}\right.$，则z=3x+y的取值范围为[6，18]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．

解答 解：约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≤4}\\{3x-2y≤6}\end{array}\right.$，对应的平面区域如图：
由z=3x+y得y=-3x+z，
平移直线y=-3x+z，
则由图象可知当直线y=-3x+z
经过点A时直线y=-3x+z的截距最大，
此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{3x-2y=6}\end{array}\right.$得A（$\frac{14}{3}$，4），
此时z=3×$\frac{14}{3}$+4=18，
当直线y=-3x+z经过B时，取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y=6}\\{x=2}\end{array}\right.$解得B（2，0），
目标函数的最小值为：6．
则z=3x+y的取值范围为：[6，18]．
故答案为：[6，18]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．