Question

14．已知f（x）为定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0]时，函数解析式$f（x）={x^2}-\frac{3}{2}x+a$（a∈R）．
（1）写出f（x）在[0，2]上的解析式；
（2）求f（x）在[-2，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性，转化求解函数的解析式即可．
（2）利用函数的解析式，结合二次函数的性质，通过配方转化求解最值即可．

解答 解　（1）∵f（x）为定义在[-2，2]上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，
∴f（0）=0，即f（0）=a=0．∴a=0．
设x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]．∴f（-x）=$（-x{）^2}+\frac{3}{2}x$．
又∵f（-x）=-f（x），∴-f（x）=${x^2}+\frac{3}{2}x$．
∴f（x）=$-{x^2}-\frac{3}{2}x$．x∈[0，2]．
（2）当x∈[0，2]，f（x）=${x}^{2}-\frac{3}{2}x=（x-\frac{3}{4}）^{2}-\frac{9}{16}$，
∴f（x）_max=f（2）=1
∵f（x）是奇函数，f（x）的值域为[-1，1]．

点评 本题考查二次函数的性质函数的奇偶性的应用，考查计算能力．