Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示．
（1）补充完成f（x）的图象，并求函数f（x），x∈R的解析式；
（2）若函数g（x）=f（2^x）+2，x∈[-1，1]的值域；
（3）求解关于x的不等式f（3^x-3）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数图象的对称性作图，利用f（x）=-f（-x）得出f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（2）求出2^x的范围，根据函数图象得出f（2^x）的范围，从而得出g（x）的值域；
（3）根据函数图象列不等式求出解集．

解答 解：（1）当x＞0时，-x＜0，
∴f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x，
又f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-x²+2x．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{-{x}^{2}+2x，x＞0}\end{array}\right.$
作出函数的图象如图所示：

（2）∵x∈[-1，1]，∴$\frac{1}{2}≤$2^x≤2，
由图象可知f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，在（1，2]上单调递减，
且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，f（1）=1，f（2）=0，
∴0≤f（2^x）≤1，∴2≤f（2^x）+2≤3．
即g（x）在[-1，1]上的值域为[2，3]．
（3）由图象可知f（x）＞0的解为x＜-2或0＜x＜2，
∵f（3^x-3）＞0，
∴3^x-3＜-2或0＜3^x-3＜2，
即3^x＜1或3＜3^x＜5，
解得x＜0或1＜x＜log₃5．

点评 本题考查了奇函数的性质，函数图象与不等式的解，属于中档题．