Question

17．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1与双曲线C₂的公共焦点为F₁，F₂，A，B分别为C₁，C₂在第二、第四象限的公共点．若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 设|AF₁|=x，|AF₂|=y，利用椭圆的定义，四边形AF₁BF₂为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵点A为椭圆椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1上的点，
∴2a=$2\sqrt{5}$，b=1，c=2；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，即x+y=2$\sqrt{5}$；①
又四边形AF₁BF₂为矩形，
∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
即x²+y²=（2c）²=16，②
由①②得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2\sqrt{5}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，
解得y=$\sqrt{5}+\sqrt{3}$，x=$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，
设双曲线C₂的实轴长为2a′，焦距为2c′，
则2a′=|AF₂|-|AF₁|=y-x=2$\sqrt{3}$，2c′=4，
∴C₂的离心率是e=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF₁|与|AF₂|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．