Question

10．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x-2014）²f（x-2014）-4f（2）＞0的解集为（　　）

• A． （2012，+∞）
• B． （0，2012）
• C． （0，2016）
• D． （2016，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，令F（x）=x²f（x），对其求导可得F′（x），结合题意分析可得F′（x）＞0，即函数F（x）为增函数，则可以将不等式（x-2014）²f（x-2014）-4f（2）＞0转化为F（x-2014）＞F（2），结合函数的单调性可得x-2014＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，令F（x）=x²f（x），
则有F′（x）=2xf（x）+x²f′（x），
又由2f（x）+xf′（x）＞x²且x∈（0，+∞），
则F′（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0，即函数F（x）为增函数，
不等式（x-2014）²f（x-2014）-4f（2）＞0
⇒（x-2014）²f（x-2014）＞4f（2）⇒F（x-2014）＞F（2），
则有x-2014＞2，解可得x＞2016；
即不等式（x-2014）²f（x-2014）-4f（2）＞0的解集为（2016，+∞）；
故选：D．

点评 本题主要函数的导数与单调性的关系，涉及不等式的解法，关键是利用条件构造函数，并利用函数单调性和导数之间的关系分析．