Question

8．设函数f（x）=|x-1|+|2x-1|．
（Ⅰ）若对?x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求实数t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a²+b²=2M．证明：a+b≥2ab．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的性质求出|1-$\frac{1}{x}$|+|2-$\frac{1}{x}$|的最小值，求出M的值即可；
（Ⅱ）根据基本不等式的性质得到$\sqrt{ab}≤1$以及$\frac{ab}{a+b}≤\frac{{\sqrt{ab}}}{2}$，从而证明结论．

解答 （Ⅰ）解：$f（x）≥tx?|x-1|+|2x-1|≥tx?|1-\frac{1}{x}|+|2-\frac{1}{x}|≥t$恒成立
$?t≤{（|1-\frac{1}{x}|+|2-\frac{1}{x}|）_{min}}$
∵$|1-\frac{1}{x}|+|2-\frac{1}{x}|≥|（1-\frac{1}{x}）-（2-\frac{1}{x}）|=1$，
当且仅当$（1-\frac{1}{x}）（2-\frac{1}{x}）≤0$，即$\frac{1}{2}≤x≤1$时取等号，
∴t≤1，∴M=1．
（Ⅱ）证明：∵2=a²+b²≥2ab，∴ab≤1．
∴$\sqrt{ab}≤1$．（当且仅当“a=b”时取等号）①
又∵$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$，∴$\frac{{\sqrt{ab}}}{a+b}≤\frac{1}{2}$．
∴$\frac{ab}{a+b}≤\frac{{\sqrt{ab}}}{2}$，（当且仅当“a=b”时取等号）②
由①、②得$\frac{ab}{a+b}≤\frac{1}{2}$．（当且仅当“a=b”时取等号）
∴a+b≥2ab．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质及其应用，是一道中档题．