Question

19．某城市理论预测2017年到2021年人口总数（单位：十万）与年份的关系如表所示：

年份2017+x	0	1	2	3	4
人口总数y	5	7	8	11	19

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）据此估计2022年该城市人口总数．
（附：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）
考数据：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，0²+1²+2²+3²+4²=30．

Answer 1

分析 （1）由题意求得$\widehat{b}，\hat{a}$ 的值，据此即可得到回归方程的解析式；
（2）将x=5代入（1）中求得的回归方程，据此即可预测2022年该城市人口总数．

解答 解：（1）由题中数表，知$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（0+1+2+3+4）=2，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（5+7+8+11+19）=0．
所以$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5{\overline{x}}^{2}}$=3.2，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=3.6．
所以回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=3.2x+3.6．
（2）当x=5时，$\stackrel{∧}{y}$=3.2×5+3.6=19.6（十万）=196（万）．
答：估计2019年该城市人口总数约为196万．

点评 本题考查了线性回归方程的实际应用，线性回归方程的性质等，重点考查学生的计算能力和对基础概念的理解，属于中等题．