Question

7．四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，各侧棱长与底面的边长均相等，M为SA的中点，则直线BM与SC所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 过点P作PO⊥平面ABCD，交ABCD于点O，以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与SA所成角的余弦值．

解答 解：过点P作PO⊥平面ABCD，交ABCD于点O，
以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：

设正四棱锥S-ABCD侧棱长与底面边长都为2，
则A（1，-1，0），OB=$\sqrt{2}$，OS=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，B（1，1，0），
S（0，0，$\sqrt{2}$），C（-1，1，0），M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{SC}$=（-1，1，-$\sqrt{2}$），
设BE与SA所成角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{SC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴BM与SC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．