Question

5．若正数x、y满足2x+y=1，则xy的范围是$（0，\frac{1}{8}]$．

Answer 1

分析 首先确定最小值，然后利用均值不等式求解最大值即可求得最终结果，注意等号成立的条件．

解答 解：很明显xy＞0，利用均值不等式考查函数xy的最大值：
根据题意，正实数x，y满足2x+y=1，
则 $xy=\frac{1}{2}（2x）y≤\frac{1}{2}{[\frac{2x+y}{2}]}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$，
当且仅当2x=y=$\frac{1}{2}$时等号成立，
即xy的最大值为 $\frac{1}{8}$；
则xy的取值范围是 $（0，\frac{1}{8}]$．
故答案为：$（0，\frac{1}{8}]$．

点评 本题考查均值不等式及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．