Question

16．已知函数f（x）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）$h（x）=2x+\frac{a^2}{x}+lnx$，其定义域为（0，+∞）．$h'（x）=2-\frac{a^2}{x^2}+\frac{1}{x}$．由x=1是函数h（x）的极值点，得h'（1）=0，即3-a²=0，解得a．
（2）对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x）_min≥g（x）_max．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）因为$h（x）=2x+\frac{a^2}{x}+lnx$，其定义域为（0，+∞）
所以$h'（x）=2-\frac{a^2}{x^2}+\frac{1}{x}$．由x=1是函数h（x）的极值点，得h'（1）=0，即3-a²=0，
又由a＞0，得$a=\sqrt{3}$-------------------（3分）
经检验，当$a=\sqrt{3}$时，x=1是函数h（x）的极值点．所以$a=\sqrt{3}$----------（4分）
（2）对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立等价于
对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x）_min≥g（x）_max．
当$x∈[{1，e}]时g'（x）=1+\frac{1}{x}＞0$，所以函数g（x）在[1，e]上是增函数．
所以g（x）_max=g（e）=e+1-------------------（6分）
又由$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}=\frac{（x+a）（x-a）}{x^2}$，且x∈[1，e]，a＞0
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，$f'（x）=\frac{（x+a）（x-a）}{x^2}＞0$
所以函数f（x）在[1，e]上是增函数．所以$f{（x）_{min}}=f（1）=1+{a^2}$
由$1+{a^2}≥1+e，得a≥\sqrt{e}$，又由0＜a＜1知a不合题意，舍去．-----------（8分）
②当1≤a≤e时
若1≤x＜a，则$f'（x）=\frac{（x+a）（x-a）}{x^2}＜0$
若a＜x≤e，则$f'（x）=\frac{（x+a）（x-a）}{x^2}＞0$
所以函数f（x）在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
所以f（x）_min=f（a）=2a．由$2a≥e+1得a≥\frac{e+1}{2}$．
又1≤a≤e，所以$\frac{e+1}{2}≤a≤e$．-------------------（10分）
③当a＞e且x∈[1，e]时，$f'（x）=\frac{（x+a）（x-a）}{x^2}＜0$，
所以函数f（x）在[1，e]上是减函数，所以$f{（x）_{min}}=f（e）=e+\frac{a^2}{e}$．
由$e+\frac{a^2}{e}≥1+e$得$a≥\sqrt{e}$，又a＞e，所以a＞e．
综上所述，a的取值范围为$[{\frac{e+1}{2}，+∞}）$．----------------（12分）

点评 本题考查了利用导数研究单调性极值与最值、不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．