Question

20．如图，所有棱长都相等的直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，B′D′中点为E′
（Ⅰ）证明：AE′∥平面BC′D；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE′．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，交BD于点E，则E为AC中点，推导出四边形ACC′A′为平行四边形，连结C′E，则四边形AEC′E′为平行四边形，从而AE′∥C′E，由此能证明AE′∥平面BC′D．
（Ⅱ）推导出AC⊥BD，AA′⊥BD，从而BD⊥平面ACC′A′，由此能证明BD⊥AE′．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于点E，如图所示：

由四边形ABCD的四边相等，得E为AC中点，
连结A′C′，由四边形A′B′C′D′四边相等，得A′C′与B′D′交于B′D′中点E′，
又在棱柱中，AA′∥CC′，AA′=CC′，
∴四边形ACC′A′为平行四边形，
∴AC∥A′C′，AC=A′C′，∴C′E′=AE，C′E′∥AE，
连结C′E，则四边形AEC′E′为平行四边形，∴AE′∥C′E，
∵AE′?平面BC′D，C′E?平面BC′D，
∴AE′∥平面BC′D．
（Ⅱ）∵四边形ABCD四边相等，∴AC⊥BD，
∵AA′⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AA′⊥BD，
∵AA′∩AC=A，AA′?平面ACC′A′，AC?平面ACC′A′，
∴BD⊥平面ACC′A′，
∵AE′?平面ACC′A′，∴BD⊥AE′．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想．