Question

【题目】已知函数x3x2﹣2x（a∈R）.

（1）当a=3时，求函数的单调递减区间；

（2）若对于任意x∈都有成立，求实数a的取值范围；

（3）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（﹣∞，1）和（2，+∞）；（2）（﹣1，8）；（3）（2，+∞）.

【解析】

（1）当a=3时，，得=﹣x2+3x﹣2，则由0求解.

（2）由，得，根据对于任意x∈[1，+∞）都有2（a﹣1）成立，则转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[]max2（a﹣1）.因为，再利用二次函数的图象和性质求解.

（3）设点是函数y=f（x）图象上的切点，过点P的切线方程为. 根据点在切线上，整理得.，根据过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，则方程有三个不同的实数解，再令，要求函数y=g（t）与t轴有三个不同的交点即可.

（1）当a=3时，，得=﹣x2+3x﹣2.

因为0，得x1或x2，

所以函数f（x）单调递减区间为（﹣∞，1）和（2，+∞）.

（2）由，得，

因为对于任意x∈[1，+∞）都有2（a﹣1）成立，

所以问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[]max2（a﹣1）.

因为，其图象开口向下，对称轴为.

①当时，即a2时，f'（x）在[1，+∞）上单调递减，

所以max==a﹣3，

由a﹣32（a﹣1），得a﹣1，此时﹣1a2.

②当时，即a2时，在上单调递增，在上单调递减，

所以，

由，得0a8，此时2a8.

综上①②可得，实数a的取值范围为（﹣1，8）.

（3）设点是函数y=f（x）图象上的切点，

则过点P的切线的斜率为k==﹣t2+at﹣2，

所以过点P的切线方程为.

因为点在切线上，

所以，

即.

若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，

则方程有三个不同的实数解.

令，则函数y=g（t）与t轴有三个不同的交点.

令=2t2﹣at=0，解得t=0或.

因为，，

所以必须，即a2.

所以实数a的取值范围为（2，+∞）.