【题目】已知函数
(1)若函数在
处取得极值1,证明:
(2)若恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】
(1)求出函数的导函数
,由
在
处取得极值1,可得
且
.解出
,构造函数
,分析其单调性,结合
,即可得到
的范围,命题得证;
(2)由分离参数,得到
恒成立,构造函数
,求导函数
,再构造函数
,进行二次求导
.由
知
,则
在
上单调递增.根据零点存在定理可知
有唯一零点
,且
.由此判断出
时,
单调递减,
时,
单调递增,则
,即
.由
得
,再次构造函数
,求导分析单调性,从而得
,即
,最终求得
,则
.
解:(1)由题知,
∵函数在
,处取得极值1,
,且
,
,
,
令,则
为增函数,
,即
成立.
(2)不等式恒成立,
即不等式恒成立,即
恒成立,
令,则
令,则
,
,
,
在
上单调递增,且
,
有唯一零点
,且
,
当时,
,
,
单调递减;
当时,
,
,
单调递增.
,
由整理得
,
令,则方程
等价于
而在
上恒大于零,
在
上单调递增,
.
,
∴实数的取值范围为
.
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【题目】如图,是边长为1的正三角形,点P在
所在的平面内,且
(a为常数),下列结论中正确的是( )
A.当时,满足条件的点P有且只有一个
B.当时,满足条件的点P有三个
C.当时,满足条件的点P有无数个
D.当a为任意正实数时,满足条件的点总是有限个
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【题目】某电子设备工厂生产一种电子元件,质量控制工程师要在产品出厂前将次品检出.估计这个厂生产的电子元件的次品率为0.2%,且电子元件是否为次品相互独立,一般的检测流程是:先把个
电子元件串联起来成组进行检验,若检测通过,则全部为正品;若检测不通过,则至少有一个次品,再逐一检测,直到把所有的次品找出,若检验一个电子元件的花费为5分钱,检验一组(
个)电子元件的花费为
分钱.
(1)当时,估算一组待检元件中有次品的概率;
(2)设每个电子元件检测费用的期望为,求
的表达式;
(3)试估计的值,使每个电子元件的检测费用的期望最小.(提示:用
进行估算)
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【题目】《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(""表示一根阳线,"
"表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为_______.
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【题目】已知四面体的棱长满足
,
,现将四面体
放入一个主视图为等边三角形的圆锥中,使得四面体
可以在圆锥中任意转动,则圆锥侧面积的最小值为___________.
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【题目】已知函数x3
x2﹣2x(a∈R).
(1)当a=3时,求函数的单调递减区间;
(2)若对于任意x∈都有
成立,求实数a的取值范围;
(3)若过点可作函数
图象的三条不同切线,求实数a的取值范围.
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