【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若函数是R上的增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)讨论函数在
上的零点个数.
【答案】(Ⅰ). (Ⅱ)当
时,函数有且只有一个零点,当
时,函数有两个零点.
【解析】
(Ⅰ)根据题意可得,求出导函数,由题意可得
恒成立,即
恒成立,根据一元二次不等式式恒成立分类讨论
的取值范围即可求解.
(Ⅱ)函数,令
,求导得
,分类讨论:当
时,判断函数的单调递增,由
,从而可得函数的零点个数;当
时,设
,求导可得
在
上递增,由
,讨论
的正负,从而可得
的单调性,进而可得到函数
在
的零点个数.
(Ⅰ),求导得
因为函数是
上的增函数,所以
恒成立.
当时,满足题意.
当时,由
且
,解得
.
综上,实数的取值范围是
.
(Ⅱ)函数,
令
求导得
(1)当时,
在
上恒成立,所以
在
上单调递增,
又,所以在
上
有且只有一个零点.
(2)当时,设
,
因为恒成立,所以
在
上递增.
又
①当,即
时,
恒成立,
所以在
上单调递增,又
,
所以在上
有且只有一个零点.
②当,即
时,
,
所以存在唯一实数使得
.
在
上单调递减,
在
上单调递增.
又因为,所以
当,即
时,
有且只有一个零点
当,即
时,
有两个零点.
综上:当时,函数有且只有一个零点,当
时,函数有两个零点.
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【题目】已知函数f(x)=ex-x2 -kx(其中e为自然对数的底,k为常数)有一个极大值点和一个极小值点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)证明:f(x)的极大值不小于1.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数(
,
)的部分图象如图中实线所示,图中圆C与
的图象交于M,N两点,且M在y轴上,则下列说法中正确的是( )
A.函数的最小正周期是2π
B.函数的图象关于点
成中心对称
C.函数在
单调递增
D.将函数的图象向左平移
后得到的关于y轴对称
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【题目】某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:如果顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;如果顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为____元.
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【题目】极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
,射线
,
,
与曲线
分别交于异于极点O的四点A,B,C,D.
(1)若曲线关于
对称,求
的值,并求
的参数方程;
(2)若 |,当
时,求
的范围.
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【题目】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到:任画…条线段,然后把它分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线,称为“一次构造”;用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤,得到由16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”;…;如此进行“n次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍,则至少需要构造的次数是( )(取,
)
A.16B.17C.24D.25
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
(
且
).
(I)求直线的极坐标方程及曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知是直线
上的一点,
是曲线
上的一点,
,
,若
的最大值为2,求
的值.
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