Question

对于函数f（x）=x^m（1-x）ⁿ（m∈N^*，n∈N^*），下列命题正确的有

 

．（写出所有正确命题的序号）
①f（x）值域为R；
②对任意不全为奇数的m，n．函数f（x）的图象与x轴相切；
③函数f（x）一定存在极值；
④存在m，n，使f（x）为奇函数；
⑤当x?[0，1]时，f（x）≤

1

4

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：取m，n为偶数判断①；分别取m，n为偶数判断②；由f（0）=f（1）=0，且f（x）在区间（0，1）内连续判断③；举反例判断④；由函数的单调性及m=n=1时f（x）=x（1-x）≤

1

4

判断⑤．

解答： 解：对于①，当m，n均为偶数时，f（x）≥0，故①错误；
对于②，当m为偶数时，f（x）的图象与x轴相切于（0，0），当n为偶数时，f（x）的图象与x轴相切于（1，0），故②正确；
对于③，∵f（0）=f（1）=0，且f（x）在区间（0，1）内连续，
∴f（x）在区间（0，1）内不单调，故有极值点，故③正确；
对于④，∵f（1）=0且f（-1）≠0，故④错误；
对于⑤，当x∈[0，1]时，随着m，n的增大f（x）的函数值变小，当m=n=1时，f（x）=x（1-x）≤

1

4

，故⑤正确．
∴正确的命题是②③⑤．
故答案为：②③⑤．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了特值验证法及举反例法判断命题的真假，考查了由函数的单调性求函数的值域，是中档题．