Question

如图，PD⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PD=1．求异面直线PA与BD所成角的大小．

Answer 1

分析：如图，延长DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF连接AF，PF，EF，DF可证得∠PAF（或其补角）的大小即为异面直线PA与BD所成角的大小，在这个三角形中求角即可

解答：解：如图，延长DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF．
连接AF，PF，EF，DF．
因为ABCD是正方形，
所以AD∥BF，且AD=BF，
所以AF∥BD．
故∠PAF（或其补角）的大小即为异面直线PA与BD所成角的大小．
又正方形边长为2，PD=1，
故PA=

5

，AF=2

2

，DF=

CF2+CD2

=2

5

．
所以，PF=

PD2+DF2

=

21

．
于是，cos∠PAF=

PA2+AF2-PF2

2PA•AF

=

5+8-21

2• 5 •2 2

=-

10

5

，
所以异面直线PA与BD所成角的大小为arccos

10

5

．

点评：本题考查异面直线所成的角，其步骤是作角，证角，求角，本题中采用了补形的方法作出了两异面直线所成的角（或其补角）这是求异面直线时常采用的一个技巧．