Question

3．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，直线x-2y+3=0与双曲线交于A、B两点，若|AB|=$\sqrt{5}$，则此双曲线的方程为$\frac{4}{9}{y}^{2}-\frac{4}{9}{x}^{2}=1$．

Answer 1

分析 由题意设出等轴双曲线的方程，与直线方程联立，然后利用弦长公式求得a，则双曲线方程可求．

解答 解：设等轴双曲线的方程为y²-x²=a（a＞0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{{y}^{2}-{x}^{2}=a}\end{array}\right.$，得3y²-12y+9+a=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${y}_{1}+{y}_{2}=4，{y}_{1}{y}_{2}=3+\frac{a}{3}$，
则|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{1+4}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{5}•\sqrt{16-4（3+\frac{a}{3}）}$=$\sqrt{5}$，
解得：$a=\frac{9}{4}$．
∴此双曲线的方程为$\frac{4}{9}{y}^{2}-\frac{4}{9}{x}^{2}=1$．
故答案为：$\frac{4}{9}{y}^{2}-\frac{4}{9}{x}^{2}=1$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程，考查了弦长公式的应用，属于中档题．