Question

18．点A、B、C是抛物线y²=4x上不同的三点，若点F（1，0）满足$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，则△ABF面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\frac{3\sqrt{6}}{2}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 设出A，B，C点的坐标，再设出直线AB与x轴交于点D（m，0），进一步求出m，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据导数知识求出最值，则答案可求．

解答 解：抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=-1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），直线AB与x轴交于点D（m，0），
∵$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{0-{y}_{1}}{m-{x}_{1}}$，∴m=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}$
∵点F（1，0）满足$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴点F是△ABC重心，
∴x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，
∴y₁²+y₂²=12-y₃²，y₁+y₂=-y₃，
∴2y₁y₂=（y₁+y₂）²-（y₁²+y₂²）=2y₃²-12
∴S_△ABF²=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}$）²（y₁-y₂）²=$\frac{1}{64}$（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$y₃²）²（24-3y₃²）
令y₃²=t≥0，y=（-2+t）²（8-t）
令y′=0，则t₁=2，t₂=6．
当t∈（0，2）时函数单调递减，当t∈（2，6）时函数单调递增，t∈（6，+∞）时函数单调递减且当t=0时y=$\frac{3}{2}$，当t=6时y=$\frac{3}{2}$，
∴y_max=$\frac{3}{2}$．
∴△ABF面积的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：A．

点评 本题重点考查抛物线的简单性质，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，解题的关键是求出△ABF面积．