【题目】已知函数,
.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点
、
,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)求出函数的定义域和导数,对实数
的取值进行分类讨论,利用导数分析导函数
的符号变化,由此可得出函数
的单调递增区间和递减区间;
(2)由(1)可知、
是关于
的二次方程
的两根,利用韦达定理可将
表示为以
为自变量的函数,换元
,可得出
,令
,利用导数求出函数
在
上的值域,由此可得解.
(1)函数的定义域为
,
,令
.
当,即
时,
,则
对任意的
恒成立,
此时函数在
上单调递增;
当时,
对任意的
恒成立,
此时函数在
上单调递增;
当时,
有两个正根,分别为
,
,
当或
时,
;当
时,
.
此时函数在
,
上单调递增,在
上单调递减.
综上可得:当时,函数
的单调递增区间是
,无递减区间;
当时,函数
的单调递增区间是
,
,
单调递减区间是;
(2)由(1)可知、
是关于
的二次方程
的两根,
由韦达定理可得,
,
,
,
,
,
,
,
,
令,则
,设
,
,
当时,
,当
时,
.
所以,函数在
单调递增,在
单调递减,
,
因此,的取值范围是
.
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【题目】已知椭圆的左焦点为
,点
为椭圆的左、右顶点,点
是椭圆上一点,且直线
的倾斜角为
,
,已知椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上异于
的两点,若直线
的斜率等于直线
斜率的
倍,求四边形
面积的最大值.
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【题目】某工厂加工某种零件需要经过,
,
三道工序,且每道工序的加工都相互独立,三道工序加工合格的概率分别为
,
,
.三道工序都合格的零件为一级品;恰有两道工序合格的零件为二级品;其它均为废品,且加工一个零件为二级品的概率为
.
(1)求;
(2)若该零件的一级品每个可获利200元,二级品每个可获利100元,每个废品将使工厂损失50元,设一个零件经过三道工序加工后最终获利为元,求
的分布列及数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)若与平行的直线
与曲线
交于
,
两点.且在
轴的截距为整数,
的面积为
,求直线
的方程.
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【题目】设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和
,且各次射击互相独立.
(1)若甲、乙两人各射击1次,求至少有一人命中目标的概率;
(2)若甲连续射击3次,设命中目标次数为,求命中目标次数
的分布列及数学期望.
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【题目】假定某射手每次射击命中的概率为,且只有3发子弹.该射手一旦射中目标,就停止射击,否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X,求:
(1)目标被击中的概率;
(2)X的概率分布列;
(3)均值,方差V(X).
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【题目】三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实,图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色其面积称为朱实,黄实,利朱用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2,设勾股中勾股比为,若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为( )
A.886B.500C.300D.134
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