Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，
∴a₂=2a₁=2，a₃=2S₂=6，a₄=2S₃=18，
（2）∵a_n+1=2S₁，∴a_N=2S_n-1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=2a_n，（n≥2）
又，∴数列{a_n}自第2项起是公比为3的等比数列，
∴，

（3）∵b_n=na_n，∴，
∴T_n=1+2×2×3⁰+2×3×3¹+2×4×3²++2×n×3^n-2，①
3T_n=3+2×2×3¹+2×3×3²+2×4×3³++2×n×3^n-1②（12分）
①-②得-2T_n=-2+2×2×3⁰+2×3¹+2×3²++2×3^n-2-2×n×3^n-1
=2+2（3+3²+3³++3^n-2）-2n×3^n-1=（1-2n）×3^n-1-1
∴．（14分）
分析：（1）由a₁=1，a_n+1=2s_n，分别令n=1，2，3求出a₂，a₃，a₄的值；
（2）由a_n+1=2s_n及求得a_n，
（3）把（2）求得a_n代入中b_n，应用错位相减法求和．
点评：由数列前n 项和求数列通项公式时，一定注意n=1的情况，体现了分类讨论的数学思想；属中档题．