Question

如图，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，点M和N分别为线段A₁B₁和CC₁上的点，且A₁M=2MB₁，MN∥平面A₁BC．求证：
（1）AB⊥A₁C；
（2）CN=2NC₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AB中点E，连结CE，A₁B，A₁E，证明AB⊥面CEA₁，即可证明AB⊥A₁C；
（2）在BB₁上取点H，使BH=2HB₁，连接HN，HM，证明平面MNH∥平面A₁BC，可得NH∥BC，再证明四边形BHNC为平行四边形，即可证明CN=2NC₁．

解答： 证明：（1）取AB中点E，连结CE，A₁B，A₁E，
∵AB=AA₁，∠BAA₁=60°，∴△BAA₁=60°是正三角形，
∴A₁E⊥AB，
∵CA=CB，∴CE⊥AB，
∵CE∩A₁E=E，
∴AB⊥面CEA₁，又∵A₁C在平面CEA₁内
∴AB⊥A₁C．…（6分）
（2）在BB₁上取点H，使BH=2HB₁，连接HN，HM，
则HM∩MN=M，MH不在平面A₁BC内．

∵A₁M=2MB₁，∴MH∥A₁B．
∴MH∥平面A₁BC．…（8分）
又∵MN∥平面A₁BC，MN、MH均在平面MNH内，
∴平面MNH∥平面A₁BC．…（10分）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C∩平面MNH=NH，
侧面BB₁C₁C∩平面ABC=BC，
∴NH∥BC．…（12分）
再结合三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱CC₁∥BB₁，可得四边形BHNC为平行四边形，进而BH=CN．
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱CC₁=BB₁，
∴HB₁=NC₁．∴CN=2NC₁．…（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．