Question

5．一次函数f（x）是R上的增函数，已知f[f（x）]=16x+5，g（x）=f（x）（x+m）．
（1）求f（x）；
（2）若g（x）在（1，+∞）单调递增，求实数m的取值范围；
（3）当x∈[-1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax+b，a＞0，代入条件，由恒等式的性质可得方程，解方程可得f（x）的解析式；
（2）求得g（x）的解析式和对称轴方程，再由单调性可得-$\frac{4m+1}{8}$≤1，解不等式即可得到所求范围；
（3）根据抛物线的开口向上，可得最大值在端点处取得，解方程可得m的值，注意检验即可得到．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的增函数，
∴设f（x）=ax+b，a＞0，
f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=16x+5，
∴a²=16，ab+b=5，
解得a=4，b=1或a=-4，b=-$\frac{5}{3}$（不合题意舍去），
∴f（x）=4x+1；
（2）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x²+（4m+1）x+m，
对称轴为x=-$\frac{4m+1}{8}$，
由题意可得-$\frac{4m+1}{8}$≤1，解得m≥-$\frac{9}{4}$；
（3）由于g（x）为开口向上的抛物线，
可得g（x）的最大值为端点处的函数值．
当g（-1）取得最大值时，即-3（m-1）=13，解得m=-$\frac{10}{3}$；
当g（3）取得最大值时，即13（m+3）=13，解得m=-2．
当m=-2时，对称轴为x=-$\frac{4m+1}{8}$=$\frac{7}{8}$，g（-1）=9＜g（3）=13；
当m=-$\frac{10}{3}$时，对称轴为x=-$\frac{4m+1}{8}$=$\frac{37}{24}$，g（-1）=13＞g（3）=-13．
综上可得，m=-2或-$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查二次函数的单调性和最值的求法，注意运用对称轴和区间的关系，考查运算求解能力，属于中档题．