练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （1）已知x＞1，证明：x+
    1x
    ＞2    ；
    （2）已知为a，b，c正实数，证明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
    分析：（1）利用基本不等式可以证明，注意等号不能取；
    （2）利用基本不等式，在相加，即可得出结论．
    解答：证明：（1）∵x，
    1
    x
    为正实数，∴x+
    1
    x
    ≥2
    		x•
    1
    x
    =2    ，当且仅当x=1时取等号
    又∵x＞1，∴不能取等号，∴x+
    1
    x
    ＞2    （6分）
    （2）∵a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号），b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时取等号），a2+c2≥2ac（当且仅当a=b时取等号），
    ∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca）（当且仅当a=b=c时取等号）
    ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca（12分）
    点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，注意定理的使用条件．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x3+bx2+（b2-1）x+1图象的对称中心为（0，1）；函数g(x)=ax3+
    12
    sinθ•x2-2x    在 区间[-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
    （Ⅰ）求实数b的值；
    （Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解析式；
    （Ⅲ）设φ（x）=f（x）-g（x），试证：对任意的x1、x2∈（1，+∞）且x1≠x2，都有|φ（x2）-φ（x1）|＞2|x2-x1|．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    1+ln(x+1)
    x
    （x＞0），
    （1）函数f（x） 在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
    （2）证明：当x＞0时，f（x）＞
    3
    x+1
    恒成立；
    （3）试证：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3（n∈N*）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x2+
    2
    x
    +alnx（x＞0），
    （Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
    （Ⅱ）若f（x）在[1，+∞]上单调递增，求a的取值范围；
    （Ⅲ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1，x2总有以下不等式
    1
    2
    [f（x1）+f（x2）≥f（
    x1+x2
    2
    ）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2013届广东省高二下学期期中文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （1）已知x , y>0,且x+y>2，试证中至少有一个小于2。

    （2）已知|a|<1，|b|<1，求证：>1

     

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    仔细阅读下面问题的解法：
    设A=[0，1]，若不等式21-x-a＞0在A上有解，求实数a的取值范围．
    解：由已知可得　a＜21-x
    令f（x）=21-x，不等式a＜21-x在A上有解，
    ∴a＜f（x）在A上的最大值
    又f（x）在[0，1]上单调递减，f（x）max=f（0）=2
    ∴a＜2即为所求．
    学习以上问题的解法，解决下面的问题：
    （1）已知函数f（x）=x2+2x+3 （-2≤x≤-1）求f（x）的反函数及反函数的定义域A；
    （2）对于（1）中的A，设g（x）=数学公式x∈A，试判断g（x）的单调性；（不证）
    （3）又若B={x|数学公式＞2x+a-5}，若A∩B≠Φ，求实数a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案