Question

仔细阅读下面问题的解法：
设A=[0，1]，若不等式2^1-x-a＞0在A上有解，求实数a的取值范围．
解：由已知可得　a＜2^1-x
令f（x）=2^1-x，不等式a＜2^1-x在A上有解，
∴a＜f（x）在A上的最大值
又f（x）在[0，1]上单调递减，f（x）_max=f（0）=2
∴a＜2即为所求．
学习以上问题的解法，解决下面的问题：
（1）已知函数f（x）=x²+2x+3 （-2≤x≤-1）求f（x）的反函数及反函数的定义域A；
（2）对于（1）中的A，设g（x）=x∈A，试判断g（x）的单调性；（不证）
（3）又若B={x|＞2^x+a-5}，若A∩B≠Φ，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=（x+1）²+2
∵f（x）在[-2，-1]上单调递减
∴f（x）∈[2，3]
故反函数的定义域A=[2，3]
令x+1=-，x=-1-
∴f^-1（x）=-1- x∈[2，3]
（2）g（x）==-1+ x∈[2，3]
g（x）在x∈[2，3]上单调递减
（3）由A∩B≠Φ，?不等式＞2^x+a-5在集合A上有解，
亦即不等式a＜-2^x+5在集合A上有解，
令函数h（x）=-2^x+5，
a＜h（x）在集合A上有解，?a＜h（x）在集合A上的最大值
又h（x）=-1+-2^x+5=-2^x+4 在区间A上单调递减
h（x）_max=g（2）=?a＜
?实数a的取值范围为（-∞，）
分析：（1）先根据函数的单调性得到反函数的定义域；再求出x=-1-即可得到函数f（x）的反函数；
（2）直接对其分离常数即可得到其单调性；
（3）先根据条件把问题转化为不等式a＜-2^x+5在集合A上有解；再根据函数的单调性求出h（x）=-2^x+5在集合A上的最大值，即可得到结论．
点评：本题主要考查函数的单调性的应用以及反函数的求法．是对函数知识的综合考查，属于中档题目，考查计算能力以及分析问题的能力．