Question

仔细阅读下面问题的解法：
设A=[0，1]，若不等式2^1-x-a＞0在A上有解，求实数a的取值范围．
解：由已知可得  a＜2^1-x
令f（x）=2^1-x，不等式a＜2^1-x在A上有解，
∴a＜f（x）在A上的最大值
又f（x）在[0，1]上单调递减，f（x）_max=f（0）=2
∴a＜2即为所求．
学习以上问题的解法，解决下面的问题：
（1）已知函数f（x）=x²+2x+3 （-2≤x≤-1）求f（x）的反函数及反函数的定义域A；
（2）对于（1）中的A，设g（x）=

10-x

10+x

x∈A，试判断g（x）的单调性；（不证）
（3）又若B={x|

10-x

10+x

＞2^x+a-5}，若A∩B≠Φ，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据函数的单调性得到反函数的定义域；再求出x=-1-

y-2

即可得到函数f（x）的反函数；
（2）直接对其分离常数即可得到其单调性；
（3）先根据条件把问题转化为不等式a＜

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上有解；再根据函数的单调性求出h（x）=

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上的最大值，即可得到结论．

解答：解：（1）f（x）=（x+1）²+2
∵f（x）在[-2，-1]上单调递减
∴f（x）∈[2，3]
故反函数的定义域A=[2，3]（2分）
令x+1=-

y-2

，x=-1-

y-2

∴f^-1（x）=-1-

x-2

  x∈[2，3]（4分）
（2）g（x）=

10-x

10+x

=-1+

20

10+x

  x∈[2，3]
g（x）在x∈[2，3]上单调递减           （8分）
（3）由A∩B≠Φ，⇒不等式

10-x

10+x

＞2^x+a-5在集合A上有解，
亦即不等式a＜

10-x

10+x

-2^x+5在集合A上有解，（10分）
令函数h（x）=

10-x

10+x

-2^x+5，
a＜h（x）在集合A上有解，⇒a＜h（x）在集合A上的最大值
又h（x）=-1+

20

10+x

-2^x+5=

20

10+x

-2^x+4 在区间A上单调递减
h（x）_max=g（2）=

5

3

⇒a＜

5

3

⇒实数a的取值范围为（-∞，

5

3

）                               （12分）

点评：本题主要考查函数的单调性的应用以及反函数的求法．是对函数知识的综合考查，属于中档题目，考查计算能力以及分析问题的能力．