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    已知函数f（x）=x2+
    2
    x
    +alnx（x＞0），
    （Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
    （Ⅱ）若f（x）在[1，+∞]上单调递增，求a的取值范围；
    （Ⅲ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1，x2总有以下不等式
    1
    2
    [f（x1）+f（x2）≥f（
    x1+x2
    2
    ）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
    分析：（Ⅰ）求导函数，确定斜率，求出切点坐标，可得切线l的方程，利用切线l在两坐标轴上的截距相等，即可求得结论；
    （Ⅱ）求导函数，利用函数为[1，+∞）上单调增函数，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥
    2
    x
    -2x2    在[1，+∞）上恒成立，求出右边对应函数的最大值，即可求得结论；            
    （Ⅲ）由f（x）=x2+
    2
    x
    +alnx，得
    1
    2
    [f（x1）+f（x2）=
    1
    2
    (x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    )    +
    x1+x2
    x1x2
    +aln
    		x1x2
    ，f（
    x1+x2
    2
    ）=(
    x1+x2
    2
    )2    +
    4
    x1+x2
    +aln
    x1+x2
    2
    ，利用基本不等式即可得到结论．
    解答：（Ⅰ）解：∵f′(x)=2x-
    2
    x2
    +
    a
    x
    (x＞0)
    ∴f′（1）=2-2+a=a
    ∵f（1）=3
    ∴切线l的方程为y-3=a（x-1），即y=ax-a+3．
    ∵切线l在两坐标轴上的截距相等，
    故①当直线l过原点时，-a+3=0，∴a=3；
    ②当直线l不过原点时，a=-1
    所以a=3或-1．                                                        
    （Ⅱ）解：由f（x）=x2+
    2
    x
    +alnx，得f′(x)=2x-
    2
    x2
    +
    a
    x
    (x＞0)
    若函数为[1，+∞）上单调增函数，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
    即不等式2x-
    2
    x2
    +
    a
    x
    ≥0    在[1，+∞）上恒成立．也即a≥
    2
    x
    -2x2    在[1，+∞）上恒成立  
    令g(x)=
    2
    x
    -2x2    ，上述问题等价于a≥g（x）max
    而g(x)=
    2
    x
    -2x2    为在[1，+∞）上的减函数，则g（x）max=g（1）=0，
    于是a≥0为所求                                                           
    （Ⅲ）证明：由f（x）=x2+
    2
    x
    +alnx，得
    1
    2
    [f（x1）+f（x2）=
    1
    2
    (x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    )    +
    x1+x2
    x1x2
    +aln
    		x1x2

    f（
    x1+x2
    2
    ）=(
    x1+x2
    2
    )2    +
    4
    x1+x2
    +aln
    x1+x2
    2

    而
    1
    2
    (x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    )≥(
    x1+x2
    2
    )2     ①
    又(x1+x2)2=
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    +2x1x2≥4x1x2    ，∴
    x1+x2
    x1x2
    ≥
    4
    x1+x2
      ②
    ∵
    		x1x2
    ≤
    x1+x2
    2
    ，∴ln
    		x1x2
    ≤ln
    x1+x2
    2
    ，
    ∵a≤0，∴aln
    		x1x2
    ≥aln
    x1+x2
    2
    ，③
    由①、②、③得
    1
    2
    (x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    )    +
    x1+x2
    x1x2
    +aln
    		x1x2
    ≥(
    x1+x2
    2
    )2    +
    4
    x1+x2
    +aln
    x1+x2
    2

    即
    1
    2
    [f（x1）+f（x2）≥f（
    x1+x2
    2
    ），从而由凹函数的定义可知函数为凹函数
    点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查新定义，正确理解新定义是关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
    π
    2
    ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
    A、f(x)=2sin(πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    B、f(x)=2sin(2πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    C、f(x)=2sin(πx+
    π
    3
    )(x∈R)
    D、f(x)=2sin(2πx+
    π
    3
    )(x∈R)

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    （2012•深圳一模）已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：深圳一模 题型：解答题

    已知函数f(x)=
    1
    3
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    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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