试题分析:若
,求函数
的定义域和极值,把
代入得函数
,故可求得函数
的定义域,求它的极值,对函数求导,求出导数等于零点,及两边导数的符号,从而确定极值点;(2)当
时,试确定函数
的零点个数,即求函数
的零点个数,首先确定定义域,在定义域内,考虑函数的单调性,由单调性与根的存在性定理,来判断零点的个数.
(1)函数
的定义域为
,且
. 1分
. 3分
令
,得
,
当
变化时,
和
的变化情况如下:
4分
故
的单调减区间为
,
;单调增区间为
.
所以当
时,函数
有极小值
. 5分
(2)结论:函数
存在两个零点.
证明过程如下:
由题意,函数
,
因为
,
所以函数
的定义域为
. 6分
求导,得
, 7分
令
,得
,
,
当
变化时,
和
的变化情况如下:
故函数
的单调减区间为
;单调增区间为
,
.
当
时,函数
有极大值
;当
时,函数
有极小值
. 9分
因为函数
在
单调递增,且
,
所以对于任意
,
. 10分
因为函数
在
单调递减,且
,
所以对于任意
,
. 11分
因为函数
在
单调递增,且
,
,
所以函数
在
上仅存在一个
,使得函数
, 12分
故函数
存在两个零点(即
和
). 13分