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已知函数,其中.
(1)若,求函数的定义域和极值;
(2)当时,试确定函数的零点个数,并证明.
(1)定义域为,且,当时,函数有极小值;(2)函数存在两个零点.

试题分析:若,求函数的定义域和极值,把代入得函数,故可求得函数的定义域,求它的极值,对函数求导,求出导数等于零点,及两边导数的符号,从而确定极值点;(2)当时,试确定函数的零点个数,即求函数的零点个数,首先确定定义域,在定义域内,考虑函数的单调性,由单调性与根的存在性定理,来判断零点的个数.
(1)函数的定义域为,且.              1分
.                                 3分
,得
变化时,的变化情况如下:













 

      4分
的单调减区间为;单调增区间为
所以当时,函数有极小值.                      5分
(2)结论:函数存在两个零点.
证明过程如下:
由题意,函数
因为
所以函数的定义域为.                                      6分
求导,得,          7分
,得
变化时,的变化情况如下:














 

 

 
故函数的单调减区间为;单调增区间为
时,函数有极大值;当时,函数有极小值.                                                        9分
因为函数单调递增,且
所以对于任意.                              10分
因为函数单调递减,且
所以对于任意.                                11分
因为函数单调递增,且
所以函数上仅存在一个,使得函数,      12分
故函数存在两个零点(即).                           13分
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