Question

4．已知全集U=R，集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|2≤4^x≤8}，C={x|a-4＜x≤2a-7}．
（1）求（∁_UA）∩B；
（2）若A∩C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意和补集的运算求出∁_UA，由指数函数的性质求出B，由交集的运算求出（∁_UA）∩B；
（2）由A∩C=C得C⊆A，对C分类讨论，由子集的定义分别列出不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解（1）∵全集U=R，集合A={x|-1＜x＜1}，
∴∁_UA={x|x≤-1或x≥1}，
∵B={x|2≤4^x≤8}={x|1≤2x≤3}={x|$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$}，
∴（∁_UA）∩B={x|1≤x≤$\frac{3}{2}$}；
（2）由A∩C=C得，C⊆A，且C={x|a-4＜x≤2a-7}，
①当C=∅时，a-4≥2a-7，解得a≤3；
②当C≠∅时，则$\left\{\begin{array}{l}{2a-7＞a-4}\\{a-4≥-1}\\{2a-7＜1}\end{array}\right.$，解得3＜a＜4，
综上可得，实数a的取值范围是（-∞，4）．

点评 本题考查交、并、补集的混合运算，子集的定义，以及指数函数的性质的应用，考查分类讨论思想．