Question

5．已知抛物线y²=6x的交点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点M，N，与l交于点P，若$\overrightarrow{MF}$=2$\overrightarrow{FN}$，O是坐标原点，则|OP|=（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{63}$
• C． $\frac{4\sqrt{33}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{33}}{2}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，求出P的坐标，即可得出结论．

解答 解：抛物线y²=6x的焦点为（1.5，0），
设直线l为x=my+1.5，代入抛物线方程可得，y²-6my-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=6m，y₁y₂=-9，
由$\overrightarrow{MF}$=2$\overrightarrow{FN}$，可得y₁=-2y₂，
由代入法，可得m=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴直线l为x=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$y+1.5，
令x=-1.5，可得y=±6$\sqrt{2}$，
∴|OP|=$\sqrt{2.25+72}$=$\frac{3\sqrt{33}}{2}$，
故选D．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．