Question

17．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若acosC+ccosA=-2bcosA．
（1）求角A的值；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式即可得出；
（2）利用余弦定理，结合条件可得bc=4，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵acosC+ccosA=-2bcosA，
由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=-2sinBcosA，
化为：sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，sinB≠0，
可得cosA=-$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由a=2$\sqrt{3}$，b+c=4，
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
∴12=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{2π}{3}$，
即有12=16-bc，
化为bc=4．
故△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×4×sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了化简整理的能力与计算能力，属于中档题．