Question

5．已知F₁、F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₂与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F₁F₂为直径的圆上，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F₁F₂为直径的圆的方程，即可得出离心率e．

解答 解：不妨设过点F₂与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=$\frac{b}{a}$（x-c），
与y=-$\frac{b}{a}$x联立，可得交点M（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$）
∵点M在以线段F₁F₂为直径的圆上，
∴$\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}={c}^{2}$，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∴c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．