Question

16．若${（\sqrt{x}-\frac{a}{x}）^n}$展开式中所有二项式系数之和是64，常数项为15，则实数a的值是±1．

Answer 1

分析 由题意可得2ⁿ=64，解得n=6．z再利用$（\sqrt{x}-\frac{a}{x}）^{6}$的通项公式即可得出．

解答 解：由题意可得2ⁿ=64，解得n=6．
∴$（\sqrt{x}-\frac{a}{x}）^{6}$的通项公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\sqrt{x}）^{6-r}（-\frac{a}{x}）^{r}$=（-a）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，
令3-$\frac{3r}{2}$=0，解得r=2．
∴常数项=$（-a）^{2}{∁}_{6}^{2}$=15，解得a=±1．
故答案为：±1．

点评 本题考查二项式定理的性质及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．