Question

3．设函数f（x）=$\frac{{e}^{2}{x}^{2}+1}{x}$，g（x）=$\frac{{e}^{2}x}{{e}^{x}}$，对任意${x_1}，{x_2}∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$，不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}＜\frac{{f（{x_2}）}}{k+2}$恒成立，则正数k的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由基本不等式求最值可得f（x）在（$\frac{1}{e}，+∞$）大于2e，利用导数求出函数g（x）在（$\frac{1}{e}，+∞$）上的最大值为e，把对任意${x_1}，{x_2}∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$，不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}＜\frac{{f（{x_2}）}}{k+2}$恒成立，转化为$\frac{e}{k}≤\frac{2e}{k+1}$，由此求得k的取值范围．

解答 解：∵当x＞$\frac{1}{e}$时，f（x）=$\frac{{e}^{2}{x}^{2}+1}{x}$=${e}^{2}x+\frac{1}{x}$＞2$\sqrt{{e}^{2}x+\frac{1}{x}}=2e$（x$≠\frac{1}{e}$）．
∴x₁∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，函数f（x₁）＞2e；
∵g（x）=$\frac{{e}^{2}x}{{e}^{x}}$，∴g′（x）=$\frac{{e}^{2}（{e}^{x}-x{e}^{x}）}{{e}^{2x}}=\frac{{e}^{2}（1-x）}{{e}^{x}}$．
当$\frac{1}{e}$＜x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（$\frac{1}{e}$，1）上单调递增，
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减．
∴当x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e．
则有x₁、x₂∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f（x₁）＞2e＞g（x₂）_max=e．
∵不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}＜\frac{{f（{x_2}）}}{k+2}$恒成立且k＞0，
∴$\frac{e}{k}≤\frac{2e}{k+1}$，得k≥1．
∴正数k的取值范围是[1，+∞）．
故选：B．

点评 本题主要考查了利用基本不等式及导数求解函数的最值，考查函数的恒成立问题的转化，属中档题．