Question

19．已知f（x）=（a+2cos²$\frac{x}{2}$）cos（x+$\frac{π}{2}$），且f（$\frac{π}{2}$）=0．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若f（$\frac{α}{2}$）=-$\frac{2}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），求cos（$\frac{π}{6}$-2α）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二倍角余弦公式的变形、诱导公式化简解析式，由题意列出方程，求出实数a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意求出sinα，由α的范围和平方关系求出cosα，由二倍角公式及变形求出sin2α、cos2α，由两角差的余弦函数求出cos（$\frac{π}{6}$-2α）的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，f（x）=（a+2cos²$\frac{x}{2}$）cos（x+$\frac{π}{2}$）
=（cosx+a+1）（-sinx），
∵f（$\frac{π}{2}$）=0，∴（cos$\frac{π}{2}$+a+1）（-sin$\frac{π}{2}$）=0，
即-（a+1）=0，得a=-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=-sinxcosx=$-\frac{1}{2}sin2x$，
∵f（$\frac{α}{2}$）=-$\frac{2}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴$-\frac{1}{2}sinα=-\frac{2}{5}$，
得sinα=$\frac{4}{5}$，且cosα=$-\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$-\frac{3}{5}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$-\frac{24}{25}$，cos2α=2cos²α-1=$-\frac{7}{25}$，
∴cos（$\frac{π}{6}$-2α）=cos$\frac{π}{6}$cos2α+sin$\frac{π}{6}$sin2α
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{7}{25}）+\frac{1}{2}×（-\frac{24}{25}）$=$\frac{-7\sqrt{3}-24}{50}$．

点评 本题考查两角差的余弦函数，二倍角公式及变形，诱导公式，以及平方关系的应用，注意角的范围，考查化简、计算能力．