Question

14．若不等式（a-1）x²-x+1＞0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{5}{4}$，+∞）
• B． （$\frac{5}{4}$，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 当a-1=0，即a=1时，不符合题意，当a-1≠0，即a≠1时，若不等式（a-1）x²-x+1＞0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{△=1-4（a-1）＜0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{\frac{1}{2（a-1）}≤0}\\{（a-1）•{0}^{2}-0+1＞0}\end{array}\right.$，求解可得实数a的取值范围．

解答 解：当a-1=0，即a=1时，不等式（a-1）x²-x+1＞0可化为：-x+1＞0，即x＜1，不符合题意；
当a-1≠0，即a≠1时，若不等式（a-1）x²-x+1＞0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{△=1-4（a-1）＜0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{\frac{1}{2（a-1）}≤0}\\{（a-1）•{0}^{2}-0+1＞0}\end{array}\right.$②．
解①得：$a＞\frac{5}{4}$；解②得：a∈∅．
∴实数a的取值范围为（$\frac{5}{4}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题．