Question

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB-asinA=$\frac{1}{2}$asinC，且△ABC的面积为a²sinB，则cosB=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知的式子，结合条件和三角形的面积公式列出方程化简后，得到三边a、b、c的关系，由余弦定理求出cosB的值．

解答 解：∵bsinB-asinA=$\frac{1}{2}$asinC，
∴由正弦定理得，b²-a²=$\frac{1}{2}$ac，①
∵△ABC的面积为a²sinB，
∴$\frac{1}{2}acsinB={a}^{2}sinB$，则c=2a，
代入①得，b²=2a²，
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-2{a}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，以及三角形的面积公式的应用，考查转化思想，化简、变形能力．