Question

19．已知a∈R，设命题p：空间两点B（1，a，2）与C（a+1，a+3，0）的距离|BC|＞$\sqrt{17}$；命题q：函数f（x）=x²-2ax-2在区间（0，3）上为单调函数．
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题“￢q”和“p∧q”均为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$|{BC}|=\sqrt{{a^2}+13}＞\sqrt{17}$得a的取值范围；
（Ⅱ）函数f（x）=x²-2ax-2在区间（0，3）上为单调函数．根据二次函数的图象可得实数a的取值范围，
由命题“?q”和“p∧q”均为假命题，知命题p为假命题且命题q为真命题
，列式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为命题p为真命题，由$|{BC}|=\sqrt{{a^2}+13}＞\sqrt{17}$得a²＞4，即a＜-2或a＞2，所以a的取值范围为{a|a＜-2或a＞2}
（Ⅱ）∵函数f（x）=x²-2ax-2在区间（0，3）上为单调函数．∴a≤0或a≥3
由命题“?q”和“p∧q”均为假命题，知命题p为假命题且命题q为真命题
即$\left\{\begin{array}{l}-2≤a≤2\\ a≤0或a≥3\end{array}\right.$，得-2≤a≤0，
故a的取值范围为{a|-2≤a≤0}

点评 本题考查了复合命题的真假的应用，属于基础题．