Question

8．已知双曲线$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{m}=1（{m＞0}）$的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥$\sqrt{2}$k．
（1）求m的取值范围；
（2）设条件p：e≥$\sqrt{2}$k；条件q：m²-（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得：$e=\frac{{\sqrt{4+m}}}{{\sqrt{3}}}$，$k=\frac{{\sqrt{m}}}{{\sqrt{3}}}$，利用e≥$\sqrt{2}$k，m＞0，即可求m的取值范围；
（2）求出q的等价结论，利用p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

解答 解：（1）由已知得：$e=\frac{{\sqrt{4+m}}}{{\sqrt{3}}}$，$k=\frac{{\sqrt{m}}}{{\sqrt{3}}}$，
∵$e≥\sqrt{2}k$，∴$\frac{{\sqrt{3+m}}}{{\sqrt{3}}}≥\sqrt{2}•\frac{{\sqrt{m}}}{{\sqrt{3}}}$，解得m≤3，
∵m＞0，∴0＜m≤3，即m的取值范围（0，3]．
（2）∵m²-（2a+2）m+a（a+2）≤0，∴（m-a）（m-a-2）≤0，即a≤m≤a+2，
∵p是q的必要不充分条件，∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a+2≤3\end{array}\right.$
解得0＜a≤1，即a的取值范围为（0，1]．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查充要条件，知识综合性强．