Question

3．已知直线l：ax+y+b=0与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，$M（{\sqrt{3}，-1}）$，且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}$，则$\sqrt{3}ab$等于（　　）

• A． -3
• B． -4
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意，可得直线l与直线OM垂直，且圆心O到直线l的距离为$\frac{2}{3}$，建立方程，求出a，b，即可得出结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}$，∴直线l与直线OM垂直，且圆心O到直线l的距离为$\frac{2}{3}$，
即$\left\{\begin{array}{l}a=-\sqrt{3}\\ \frac{b}{{\sqrt{{a^2}+1}}}=\frac{2}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\sqrt{3}\\ b=\frac{4}{3}.\end{array}\right.$，则$\sqrt{3}ab=-4$．
故选B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，体现方程思想，属于中档题．