Question

18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点坐标为F（$\frac{1}{2}$，0）．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）已知斜率为2的直线l与抛物线C相交于与原点不重合的两点A，B，且OA⊥OB，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线的几何性质求p的值；
（Ⅱ）设直线的方程为y=2x+t，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即可求解．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线的几何性质知$\frac{2p}{4}=\frac{1}{2}⇒p=1$．…（3分）
（Ⅱ）设直线的方程为y=2x+t．…（4分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+t\\{y^2}=2x\end{array}\right.$得4x²+（4t-2）x+t²=0，
由题（4t-2）²-4•4t²＞0．解得 $t＜\frac{1}{4}$．…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}{x_2}=\frac{t^2}{4}$，${（{y_1}{y_2}）^2}=（2{x_1}）（2{x_2}）={t^2}$．…（6分）∵$OA⊥OB，\;∴\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0\;，\;∴{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0$．…（8分）
∴$\frac{t^2}{4}±t=0$，解得t=0或-4，4．…（9分）
由题意直线l不过原点且$t＜\frac{1}{4}$得t=-4符合题意．…（11分）
所以所求直线方程为y=2x-4．…（12分）

点评 本题主要考查抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．属于综合题．