Question

6．已知{a_n}是等比数列，a₂=2且公比q＞0，-2，a₁，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）已知b_n=a_na_n+1-λna_n+1（n=1，2，3，…），设S_n是数列{b_n}的前n项和．若S₁＞S₂，且S_k＜S_k+1（k=2，3，4，…），求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由-2，a₁，a₃成等差数列，可得2a₁=-2+a₃，由{a_n}是等比数列，a₂=2，q＞0，可得a₃=2q，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{2}{q}$，代入整理得：q²-q-2=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=2^n-1，b_n=a_na_n+1-λna_n+1=4ⁿ-λn2ⁿ，由S₁＞S₂，可得S₂-S₁＜0，即b₂＜0，2³-2λ•2²＜0，解得：λ范围．S_k＜S_k+1（k=2，3，4，…）恒成立，b_n=a_na_n+1-λna_n+1，${b_{k+1}}={2^{2（k+1）-1}}-λ（k+1）{2^{k+1}}＞0$，即λ＜$\frac{2^k}{k+1}$，利用其单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由-2，a₁，a₃成等差数列，∴2a₁=-2+a₃，
∵{a_n}是等比数列，a₂=2，q＞0，
∴a₃=2q，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{2}{q}$，代入整理得：q²-q-2=0，解得：q=2，q=-1（舍去），∴q=2，---------------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=2^n-1，b_n=a_na_n+1-λna_n+1=4ⁿ-λn2ⁿ，
由S₁＞S₂，∴S₂-S₁＜0，即b₂＜0，∴2³-2λ•2²＜0，解得：λ＞1，
S_k＜S_k+1（k=2，3，4，…）恒成立，b_n=a_na_n+1-λna_n+1，
${b_{k+1}}={2^{2（k+1）-1}}-λ（k+1）{2^{k+1}}＞0$即λ＜$\frac{2^k}{k+1}$，-------------------------（6分）
设c_k=$\frac{2^k}{k+1}$（k≥2，k∈N*），只需要λ＜（c_k）_min（k≥2，k∈N*）即可，
∵$\frac{{c}_{k+1}}{{c}_{k}}$=$\frac{{{2^{k+1}}}}{k+2}•\frac{k+1}{2^k}=\frac{k+k+2}{k+2}=\frac{k}{k+2}+1＞1$，∴数列{c_n}在k≥2且k∈N*上单调递增，--------（10分）
∴（c_k）_min=c₂=$\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$，∴λ＜$\frac{4}{3}$，∵λ＞1，∴λ∈（1，$\frac{4}{3}$）．----------12

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．