Question

15．已知定义域为R的函数 f （x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）-2f （x）＞4，若 f （0）=-1，则不等式f（x）+2＞e^2x的解集为（　　）

• A． （0，+∞）??
• B． （-1，+∞）??
• C． （-∞，0）?
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 根据条件构造函数F（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．

解答 解：设F（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$，
则F′（x）=$\frac{f′（x）-2f（x）-4}{{e}^{2x}}$，
∵f（x）-2f′（x）-4＞0，
∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增，
∵f（0）=-1，∴F（0）=1，
∴不等式f（x）+2＞e^2x等价为不等式 $\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$＞1等价为F（x）＞F（0），
解得x＞0，
故不等式的解集为（0，+∞），
故选：A．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．