Question

18．已知首项为1的正项数列{a_n}满足a_k+1=a_k+a_i（i≤k，k=1，2，…，n-1），数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）比较a_i与1的大小关系，并说明理由；
（2）若数列{a_n}是等比数列，求$\frac{S_6}{a_3}$的值；
（3）求证：$\frac{1}{2}n（{n+1}）≤{S_n}≤{2^n}-1$．

Answer 1

分析 （1）利用数列的单调性即可比较a_i与1的大小关系．
（2）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出$\frac{S_6}{a_3}$的值．
（3）利用“累加求和”与不等式的性质即可证明：$\frac{1}{2}n（{n+1}）≤{S_n}≤{2^n}-1$．

解答 解：（1）∵首项为1的正项数列{a_n}满足a_k+1=a_k+a_i（i≤k，k=1，2，…，n-1），数列{a_n}的前n项和为S_n．
∴a_k+1-a_k=a_i＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n-1），
∴数列{a_n}是递增数列，即1＜a₂＜a₃＜…＜a_n．
∴a_i＞1（i≤k，k=1，2，3，…，n-1）．
（2）∵a₂-a₁=a₁，∴a₂=2a₁；
∵{a_n}是等比数列，∴数列{a_n}的公比为2．
∵a_k+1-a_k=a_i（i≤k，k=1，2，3，…，n-1），
∴当i=k时有a_k+1=2a_k．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴$\frac{S_6}{a_3}$=$\frac{\frac{1-{2}^{6}}{1-2}}{1×{2}^{3-1}}$=$\frac{63}{4}$．
证明：（3）∵1=a₁=1，2=a₂=2，3≤a₃≤2²，4≤a₄≤2³，…，n≤a_n≤2^n-1，
由上面n个式子相加，得到：1+2+3+…+n≤a₁+a₂+a₃+…+a_n≤2⁰+2¹+2²+…+2^n-1，
化简得$\frac{n（n+1）}{2}$＜a₁+a₂+a₃+…+a_n）＜2ⁿ-1，
∴$\frac{1}{2}n（{n+1}）≤{S_n}≤{2^n}-1$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“累加求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．