Question

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当k为偶数时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）=（1-2a）x²的上方，求实数a的取值范围；
（3）当k为奇数时，设b_n=

1

2

f′（n）-n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明不等式（1+b_n） 

1

bn+1

＞e对一切正整数n均成立，并比较S₂₀₁₄-2与ln2014的大小．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,利用导数研究函数的极值,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）先求函数f（x）的导数，f′（x），再对k进行奇偶数讨论：①当k 为奇数时；②当k 为偶数时，分别得出导数值为正或负时的x的取值集合，最后综合即可；
（2）由题意知：x²-2lnx＞（1-2a）x²恒成立，即a＞

lnx

x2

恒成立，设h(x)=

lnx

x2

，则a＞[h（x）]_max；
（3）当k为奇数时，f′（x）=2（x+

1

x

），要证（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，即证(1+

1

n

)n+1＞e，两边取对数，即证ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，设1+

1

n

=t，则n=

1

t-1

(t＞1)，即证不等式lnt＞1-

1

t

(t＞1)成立．构造函数．利用导数工具研究其单调性即可证得lnt＞1-

1

t

，最后利用累乘法即可证出S₂₀₁₄-1＜ln2014．

解答： （1）解：函数的定义域为（0，+∞），
又y′=f′(x)=2x-2(-1)k

1

x

=

2[x2-(-1)k]

x

，…（1分）
①当k为奇数时，f′(x)=

2(x2+1)

x

，∵x∈（0，+∞），∴f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
即f'（x）的单调递增区间为（0，+∞）…（2分）
②当k为偶数时，f′(x)=

2(x2-1)

x

=

2(x+1)(x-1)

x

又x∈（0，+∞），∴x+1＞0
由f'（x）＞0，得x-1＞0，∴x＞1，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞），
综上所述：当k为奇数时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当k为偶数时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）…（4分）
（2）解：当k为偶数时，f（x）=x²-2lnx，
由题意知：x²-2lnx＞（1-2a）x²恒成立，即a＞

lnx

x2

恒成立．
设h(x)=

lnx

x2

，则a＞[h（x）]_max…（6分）
由h′(x)=

1-2lnx

x3

=0得x=

e

，h'（x），h（x）随x的变化情况如下表：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
h'（x）	+	0	-
h（x）		极大值

∴h（x）在x=

e

处取得极大值，也为最大值，
即[h(x)]max=h(

e

)=

1

2e

，故实数a的取值范围为a＞

1

2e

…（9分）
（3）证明：由（1）知，当k为奇数时，f′(x)=2(x+

1

x

)，
∴bn=

1

2

f′(n)-n=

1

n

，Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
由已知要证(1+

1

n

)n+1＞e，两边取自然对数，即证ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，…（11分）
设1+

1

n

=t，则n=

1

t-1

(t＞1)，即证不等式lnt＞1-

1

t

(t＞1)成立．
构造函数ϕ(t)=lnt+

1

t

-1(t＞1)，下面证明ϕ（t）在（1，+∞）上恒大于0．
∵t＞1，∴ϕ′(t)=

1

t

-

1

t2

＞0
∴ϕ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0
即lnt＞1-

1

t

，∴ln(1+

1

n

)＞

1

n+1

，∴(1+

1

n

)n+1＞e，
即(1+bn)

1

bn+1

＞e成立…（13分）
由ln

n+1

n

＞

1

n+1

，得

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln(n+1)，
即S_n+1-1＜ln（n+1），当n=2013时，S₂₀₁₄-1＜ln2014…（14分）

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于难题．