Question

已知函数f（x）=mx-m-2lnx（m∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，证明：当0＜x₁＜x₂时，

f(x2)-f(x1)

2

＞（1-

1

x1

）（x₂-x₁）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的定义域和导数，根据函数单调性和导数之间的关系，即可讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）根据若f（x）≥0恒成立，讨论m的取值范围，结合函数的单调性证明不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）=

mx-2

x

，
若m≤0，则f′（x）=

mx-2

x

＜0，此时函数在（0，+∞）上递减，
若m＞0，则由f′（x）＞0，解得x＞

2

m

，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜

2

m

，此时函数单调递减，
故当m≤0，函数的单调递减区间为（0，+∞），
当m＞0，函数的单调递减区间为（0，

2

m

），单调递增区间为（

2

m

，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m≤0，则f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上递减，
∵f（1）=0，∴f（x）≥0不恒成立，
若m＞2，当x∈（

2

m

，1）时，f（x）单调递增，f（x）＜f（1）=0，不合题意，
若0＜m＜2，当x∈（1，

2

m

）时，f（x）单调递减，f（x）＜f（1）=0，不合题意，
若m=2，当x∈（0，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增，f（x）≥f（1）=0，符合题意，
故m=2时，且lnx≤x-1，（当且仅当x=1时取等号），
当0＜x₁＜x₂时，f（x₂）-f（x₁）=2[（x₂-x₁）-ln

x2

x1

]，
∵ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1，∴f（x₂）-f（x₁）=2[（x₂-x₁）-ln

x2

x1

]＞2[（x₂-x₁）-（

x2

x1

-1）]
=2（x₂-x₁）（1-

1

x1

），
因此

f(x2)-f(x1)

2

＞(1-

1

x1

)(x2-x1)．

点评：本题主要考查函数单调性和导数的关系，以及函数最值的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．