Question

已知等比数列{a_n}满足a₂a₃a₄=8，且a₂+2，a₃+4，a₄+5构成公差不为零的等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n+

1

2

}是等比数列．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等比数列通项公式和等差数列性质求出公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a_n=2^n-2．得Sn=

1 2 (1-2n)

1-2

=2^n-1-

1

2

，从而S_n+

1

2

=2^n-1，由此能证明数列{S_n+

1

2

}是等比数列．

解答： （Ⅰ）解：∵等比数列{a_n}满足a₂a₃a₄=8，且a₂+2，a₃+4，a₄+5构成公差不为零的等差数列，
∴

a3=2 2(a3+4)=(a2+2)(a4+5)

，
∴

2

q

+2+2q+5=12，
解得q=2或q=

1

2

，
当q=

1

2

时，a₂+2=a₃+4=a₄+5，与题设矛盾，∴q=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a3qn-3=2•2^n-3=2^n-2．
（Ⅱ）∵a_n=2^n-2．∴Sn=

1 2 (1-2n)

1-2

=2^n-1-

1

2

，
∴S_n+

1

2

=2^n-1，
∴

Sn+1+ 1 2

Sn+ 1 2

=

2n

2n-1

=2，
∴数列{S_n+

1

2

}是等比数列．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．