Question

（能力挑战题）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，且SA=SB=SD=AB=2．
（1）求证：AB⊥SD．
（2）求S到底面ABCD的距离．
（3）设G为CD的中点，在线段SA上是否存在一点F，使得GF∥平面SBC？
（4）在线段AB上是否存在一点P，使得SP与平面SCD所成的角的正切值为

2

？

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB的中点E，连接DE，BD，SE，证明AB⊥平面SDE，即可证明AB⊥SD．
（2）在平面SDE中，过S作SH⊥DE于H，SH的长即为S到平面ABCD的距离；
（3）F为AS的中点，利用向量法求解即可；
（4）P为AB的中点，利用向量法求解即可

解答： （1）证明：如图，取AB的中点E，连接DE，BD，SE，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BD=2，△ABD为正三角形．
又∵E为AB的中点，∴DE⊥AB．
又∵SA=SB，∴SE⊥AB．
又∵SE∩DE=E，
∴AB⊥平面SDE．
∵SD?平面SDE，∴AB⊥SD．
（2）解：在平面SDE中，过S作SH⊥DE于H．
∵AB⊥平面SDE，∴AB⊥SH．
又∵AB∩DE=E，∴SH⊥平面ABD．
∴SH的长即为S到平面ABCD的距离．
在△ABD中，AB=AD=BD=2，∴DE=

3

，
在△SAB中，SA=SB=AB=2，∴SE=

3

．
在等腰△SDE中，SD=2，

∵SD• SE2-( 1 2 SD)2 =SH•DE， ∴SH= 2× 3-1 3 = 2 3 6 .

（3）解：假设AS上存在点F使GF∥平面SBC，连接BD，以正三角形ABD的中心O为原点，OA为x轴，OS为z轴，平行于BD的且过点O的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
A（

2

3

3

，0，0），B（-

3

3

，1，0），C（-

4

3

3

，0，0），
D（-

3

3

，-1，0），S（0，0，

2

3

6

），G（-

5

6

3

，-

1

2

，0），

AS

=（-

2

3

3

，0，

2

3

6

），
设

AF

=λ

AS

=λ（-

2

3

3

，0，

2

3

6

），
∴F（-

2

3

3

λ+

2

3

3

，0，

2

3

6

λ），

GF

=（-

2

3

3

λ+

3

2

3

，

1

2

，

2

3

6

λ），

BC

=（-

3

，-1，0），

SC

=（-

4

3

3

，0，-

2

3

6

）．
设平面SBC的一个法向量为

n

=（x，y，z），则有
-

3

x-y=0，-

4

3

3

x-

2

3

6

z=0．
令x=1，则y=-

3

，z=-

2

，
即

n

=（1，-

3

，-

2

）．
则有

GF

•

n

=0，
即（-

2 3

3

λ+

3 3

2

）+（-

3

2

）+

2

3

6

λ×（-

2

）=0．
化简得-2

3

λ+

3

=0，解得λ=

1

2

．
故

AF

=

1

2

AS

，即F为AS的中点．
（4）解：假设线段AB上存在这样的点P使SP与平面SCD所成的角的正切值为

2

，
即所成角的正弦值为

6

3

，

AB

=（-

3

，1，0），设

AP

=λ₁

AB

=（-

3

λ₁，λ₁，0），
则P（-

3

λ₁+

2

3

3

，λ₁，0），

SP

=（-

3

λ₁+

2

3

3

，λ₁，-

2

3

6

），

SC

=（-

4

3

3

，0，-

2

3

6

），

CD

=（

3

，-1，0）．
设平面SDC的一个法向量为n₁=（x₁，y₁，z₁），
则n₁•

SC

=0，n₁•

CD

=0，
解得n₁=（1，

3

，-

2

）．
cos＜

SP

，n1＞=

| SP •n1|

| SP |•|n1|

=

6

3

，代入，解得λ₁=

1

2

．
故P为AB的中点．

点评：本题考查直线与平面所成的角，考查点、线、面间的距离计算，考查向量法，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，有难度．